一、前言
在线性代数中，我们会遇到关于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的如下写法：
$$\begin{aligned}\boldsymbol{E}_{12} \quad \boldsymbol{E}_{23} \quad \boldsymbol{E}_{31} \quad \cdots\end{aligned}$$
那么，上面这种写法表示什么意思呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下。
二、正文
我们知道，单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 对应的矩阵如下：
$$\boldsymbol{E} = \begin{bmatrix}\textcolor{orange}{1} & 0 & \cdots & 0 \\0 & \textcolor{orange}{1} & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \textcolor{orange}{\ddots} & \vdots \\0 & 0 & \cdots & \textcolor{orange}{1}\end{bmatrix}$$
根据广泛的约定可知，$\boldsymbol{E}_{ij}$ 表示的就是把单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行交换位置，或者把单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的第 $i$ 列于第 $j$ 列交换位置——这两种方法得到的矩阵是完全相同的。
为了接下来的表述方便，接下来的内容，我们用三阶单位矩阵表述：
$$\boldsymbol{E} = \begin{bmatrix}\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 \\0 & \textcolor{springgreen}{1} & 0 \\0 & 0 & \textcolor{magenta}{1}\end{bmatrix}$$
于是：
$$\begin{aligned}\boldsymbol{E}_{12} = & \begin{bmatrix}0 & \textcolor{orange}{1} & 0 \\\textcolor{springgreen}{1} & 0 & 0 \\0 & 0 & \textcolor{magenta}{1}\end{bmatrix} \\ \\\boldsymbol{E}_{23} = & \begin{bmatrix}\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 \\0 & 0 & \textcolor{springgreen}{1} \\0 & \textcolor{magenta}{1} & 0\end{bmatrix} \\ \\\boldsymbol{E}_{31} = & \begin{bmatrix}0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \\0 & \textcolor{springgreen}{1} & 0 \\\textcolor{magenta}{1} & 0 & 0\end{bmatrix}\end{aligned}$$
考研数学思维导图
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！